3.324 \(\int (c+d x)^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=190 \[ \frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b} \]

[Out]

(-4*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[2*a + 2*b*x]])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*Csc[2*a
+ 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)^2*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^((2*I)
*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b
*x))])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.212836, antiderivative size = 190, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 7, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.292, Rules used = {4419, 4186, 3770, 4183, 2531, 2282, 6589} \[ \frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

(-4*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[2*a + 2*b*x]])/b^3 - (2*d*(c + d*x)*Csc[2*a
+ 2*b*x])/b^2 - (2*(c + d*x)^2*Cot[2*a + 2*b*x]*Csc[2*a + 2*b*x])/b + ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^((2*I)
*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (d^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b
*x))])/b^3 + (d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3

Rule 4419

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[
2^n, Int[(c + d*x)^m*Csc[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IntegerQ[n] && RationalQ[m]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx &=8 \int (c+d x)^2 \csc ^3(2 a+2 b x) \, dx\\ &=-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+4 \int (c+d x)^2 \csc (2 a+2 b x) \, dx+\frac{\left (2 d^2\right ) \int \csc (2 a+2 b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(4 d) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{\left (2 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (2 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{b^3}+\frac{d^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (2 a+2 b x)}\right )}{b^3}\\ &=-\frac{4 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (2 a+2 b x))}{b^3}-\frac{2 d (c+d x) \csc (2 a+2 b x)}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \csc (2 a+2 b x)}{b}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 \text{Li}_3\left (-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{d^2 \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 8.16677, size = 381, normalized size = 2.01 \[ 8 \left (-\frac{-2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{2 i (a+b x)}\right )+2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )+d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{2 i (a+b x)}\right )-d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )+4 b^2 c^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )-4 b^2 c d x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+4 b^2 c d x \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )-2 b^2 d^2 x^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )+2 b^2 d^2 x^2 \log \left (1+e^{2 i (a+b x)}\right )+2 d^2 \tanh ^{-1}\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{8 b^3}+\frac{\csc (a) \csc (a+b x) \left (c d \sin (b x)+d^2 x \sin (b x)\right )}{8 b^2}+\frac{\sec (a) \sec (a+b x) \left (d^2 (-x) \sin (b x)-c d \sin (b x)\right )}{8 b^2}-\frac{d \csc (2 a) (c+d x)}{4 b^2}+\frac{\left (-c^2-2 c d x-d^2 x^2\right ) \csc ^2(a+b x)}{16 b}+\frac{\left (c^2+2 c d x+d^2 x^2\right ) \sec ^2(a+b x)}{16 b}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

8*(-(d*(c + d*x)*Csc[2*a])/(4*b^2) + ((-c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)*Csc[a + b*x]^2)/(16*b) - (4*b^2*c^2*ArcTanh[E
^((2*I)*(a + b*x))] + 2*d^2*ArcTanh[E^((2*I)*(a + b*x))] - 4*b^2*c*d*x*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))] - 2*b^2*d^
2*x^2*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))] + 4*b^2*c*d*x*Log[1 + E^((2*I)*(a + b*x))] + 2*b^2*d^2*x^2*Log[1 + E^((2*I)
*(a + b*x))] - (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^((2*I)*(a + b*x))] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*
(a + b*x))] + d^2*PolyLog[3, -E^((2*I)*(a + b*x))] - d^2*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(8*b^3) + ((c^2 + 2*
c*d*x + d^2*x^2)*Sec[a + b*x]^2)/(16*b) + (Sec[a]*Sec[a + b*x]*(-(c*d*Sin[b*x]) - d^2*x*Sin[b*x]))/(8*b^2) + (
Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c*d*Sin[b*x] + d^2*x*Sin[b*x]))/(8*b^2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.239, size = 716, normalized size = 3.8 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x)

[Out]

-d^2*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^3+4/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))+1)^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2*(d^2*x^2*b*exp(6*I*(
b*x+a))+2*c*d*x*b*exp(6*I*(b*x+a))+c^2*b*exp(6*I*(b*x+a))-I*d^2*x*exp(6*I*(b*x+a))+b*d^2*x^2*exp(2*I*(b*x+a))-
I*d*c*exp(6*I*(b*x+a))+2*b*c*d*x*exp(2*I*(b*x+a))+b*c^2*exp(2*I*(b*x+a))+I*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+I*d*c*exp(2*
I*(b*x+a)))-2/b*d^2*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x^2-2/b^3*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+2/b*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)
*x^2+2/b*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-2/b*c^2*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)+1/b^3*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+1/b^3*d^2*
ln(exp(I*(b*x+a))-1)+4/b*c*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+2/b*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+2/b*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-
4*I/b^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*d^2*x-4*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*d^2*x-4*I/b^2*c*d*polylog(2,-exp(I*
(b*x+a)))+2*I/b^2*d^2*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))*x+2*I/b^2*c*d*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))-4*I/b^2*c*d*poly
log(2,exp(I*(b*x+a)))+4*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^3+4*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^3-1/b^3*d^2*ln(ex
p(2*I*(b*x+a))+1)-4/b*c*d*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x+4/b*c*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+4/b^2*c*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)
))*a+2/b^3*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-4/b^2*c*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 3.66754, size = 3676, normalized size = 19.35 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^2*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(b*x + a)^2 - 1) - 2*log(sin(b*
x + a)^2)) - 2*a*c*d*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(b*x + a)^2 - 1) - 2
*log(sin(b*x + a)^2))/b + a^2*d^2*((2*sin(b*x + a)^2 - 1)/(sin(b*x + a)^4 - sin(b*x + a)^2) + 2*log(sin(b*x +
a)^2 - 1) - 2*log(sin(b*x + a)^2))/b^2 + 2*((4*(b*x + a)^2*d^2 + 8*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2 + 2*(2*(b
*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^2)*cos(8*b*x + 8*a) - 4*(2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)
*(b*x + a) + d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (8*I*b*c*d - 8*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2)*sin(8
*b*x + 8*a) + (-8*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-16*I*b*c*d + 16*I*a*d^2)*(b*x + a) - 4*I*d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*arctan
2(sin(2*b*x + 2*a), cos(2*b*x + 2*a) + 1) - (4*(b*x + a)^2*d^2 + 8*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2 + 2*(2*(b
*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^2)*cos(8*b*x + 8*a) - 4*(2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)
*(b*x + a) + d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - (-4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-8*I*b*c*d + 8*I*a*d^2)*(b*x + a) - 2*I*d^2)*sin
(8*b*x + 8*a) - (8*I*(b*x + a)^2*d^2 + (16*I*b*c*d - 16*I*a*d^2)*(b*x + a) + 4*I*d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*arctan
2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (2*d^2*cos(8*b*x + 8*a) - 4*d^2*cos(4*b*x + 4*a) + 2*I*d^2*sin(8*b*x + 8*a
) - 4*I*d^2*sin(4*b*x + 4*a) + 2*d^2)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (4*(b*x + a)^2*d^2 + 8*(b*c*d
- a*d^2)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(8*b*x + 8*a) - 8*((b*x + a)^2*d^2 +
2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (8*I*b*c*d - 8*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin
(8*b*x + 8*a) + (-8*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-16*I*b*c*d + 16*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*arctan2(sin(b*
x + a), -cos(b*x + a) + 1) + (8*I*(b*x + a)^2*d^2 + 8*b*c*d - 8*a*d^2 + (16*I*b*c*d - 8*(2*I*a - 1)*d^2)*(b*x
+ a))*cos(6*b*x + 6*a) + (8*I*(b*x + a)^2*d^2 - 8*b*c*d + 8*a*d^2 + (16*I*b*c*d - 8*(2*I*a + 1)*d^2)*(b*x + a)
)*cos(2*b*x + 2*a) - (4*b*c*d + 4*(b*x + a)*d^2 - 4*a*d^2 + 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(8*b*x + 8*a)
- 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*sin(8*b*x
+ 8*a) - (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*dilog(-e^(2*I*b*x + 2*I*a)) + (8*b*c*d
+ 8*(b*x + a)*d^2 - 8*a*d^2 + 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(8*b*x + 8*a) - 16*(b*c*d + (b*x + a)*d^2
- a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(8*b*x + 8*a) + (-16*I*b*c*d - 16*I
*(b*x + a)*d^2 + 16*I*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (8*b*c*d + 8*(b*x + a)*d^2 - 8*a*d^2
+ 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(8*b*x + 8*a) - 16*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (
8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(8*b*x + 8*a) + (-16*I*b*c*d - 16*I*(b*x + a)*d^2 + 16*I*a*d^2)*
sin(4*b*x + 4*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + (-2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-4*I*b*c*d + 4*I*a*d^2)*(b*x + a) - I*d^2
+ (-2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-4*I*b*c*d + 4*I*a*d^2)*(b*x + a) - I*d^2)*cos(8*b*x + 8*a) + (4*I*(b*x + a)^2*d^2
+ (8*I*b*c*d - 8*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x
+ a) + d^2)*sin(8*b*x + 8*a) - 2*(2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*log
(cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) + (2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (4*I*b*c*d - 4*I*a
*d^2)*(b*x + a) + I*d^2 + (2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (4*I*b*c*d - 4*I*a*d^2)*(b*x + a) + I*d^2)*cos(8*b*x + 8*a) +
(-4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-8*I*b*c*d + 8*I*a*d^2)*(b*x + a) - 2*I*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - (2*(b*x + a)^2*d^2 +
4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^2)*sin(8*b*x + 8*a) + 2*(2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^
2)*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (4*I*b
*c*d - 4*I*a*d^2)*(b*x + a) + I*d^2 + (2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (4*I*b*c*d - 4*I*a*d^2)*(b*x + a) + I*d^2)*cos(8*
b*x + 8*a) + (-4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-8*I*b*c*d + 8*I*a*d^2)*(b*x + a) - 2*I*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - (2*(b*x
+ a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + d^2)*sin(8*b*x + 8*a) + 2*(2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b
*x + a) + d^2)*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (-2*I*d^2*cos(8*b
*x + 8*a) + 4*I*d^2*cos(4*b*x + 4*a) + 2*d^2*sin(8*b*x + 8*a) - 4*d^2*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^2)*polylog(3, -
e^(2*I*b*x + 2*I*a)) + (8*I*d^2*cos(8*b*x + 8*a) - 16*I*d^2*cos(4*b*x + 4*a) - 8*d^2*sin(8*b*x + 8*a) + 16*d^2
*sin(4*b*x + 4*a) + 8*I*d^2)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + (8*I*d^2*cos(8*b*x + 8*a) - 16*I*d^2*cos(4*b*x + 4
*a) - 8*d^2*sin(8*b*x + 8*a) + 16*d^2*sin(4*b*x + 4*a) + 8*I*d^2)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) - (8*(b*x + a)^2
*d^2 - 8*I*b*c*d + 8*I*a*d^2 + (16*b*c*d - (16*a + 8*I)*d^2)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - (8*(b*x + a)^2*d^2
+ 8*I*b*c*d - 8*I*a*d^2 + (16*b*c*d - (16*a - 8*I)*d^2)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(-2*I*b^2*cos(8*b*x + 8*a
) + 4*I*b^2*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b^2*sin(8*b*x + 8*a) - 4*b^2*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*b^2))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.11671, size = 5801, normalized size = 30.53 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + b^2*c^2 - 2*(b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + b^2*c^2)*cos(b*x + a)^2 - 2*(b*d^2*
x + b*c*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - ((-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c*d)*
cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (-4*I*b*d^2
*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a
)^4 + (4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - ((4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c
*d)*cos(b*x + a)^4 + (-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - ((4*I*b
*d^2*x + 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*
x + a)) - ((-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-I*cos(
b*x + a) - sin(b*x + a)) - ((4*I*b*d^2*x + 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)
^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((-4*I*b*d^2*x - 4*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^4 + (4*I*b*d^2*x + 4*I*b*
c*d)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - ((2*b^2*d^2*x^2 + 4*b^2*c*d*x + 2*b^2*c^2 + d^2)*
cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*d^2*x^2 + 4*b^2*c*d*x + 2*b^2*c^2 + d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x
+ a) + 1) + ((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d
^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - ((2*b^2*d^2*x^2 + 4*b^2*c*d*x + 2*b^2*c^2 + d^2)*
cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*d^2*x^2 + 4*b^2*c*d*x + 2*b^2*c^2 + d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x
+ a) + 1) + ((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d
^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) + 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d
^2)*cos(b*x + a)^4 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(I*cos(b*x + a) + si
n(b*x + a) + 1) + 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c
*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c
*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)
*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^4
- (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) -
((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x
+ a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - ((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*
x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a
) + 1/2) - 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x +
2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^
2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*s
in(b*x + a) + I) - 2*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*
c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + ((2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d
+ (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^4 - (2*b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + (2*a^2 + 1)*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x +
a) - I*sin(b*x + a) + I) - 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
)) - 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 4*(d^2*cos(b*x +
a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a
)^2)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -I*cos
(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x +
a)) - 4*(d^2*cos(b*x + a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 4*(d^2*cos(b*x
+ a)^4 - d^2*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^3*cos(b*x + a)^4 - b^3*cos(b*x +
a)^2)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**2*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{2} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a)^3, x)